e թվի Իռացիոնալության ապացուցում

Իռացիոնալության ապացուցում

$e$ թիվը հանդիսանում է հաշվելի (և հետևաբար նաև թվաբանական) թիվ։
$\!e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$ , տես նաև Էյլերի բանաձևը, մասնավորապես՝
- $e^{i\pi} + 1 = 0 \,\!$
- $e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1)$

Բանաձևեր, որոնք կապ են հաստատում $e$ և $\pi$ թվերի միջև՝

այսպես կոչված «Պուասոնի ինտեգրալ» կամ «Գաուսի ինտեգրալ»

\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}

սահման

e=\lim \limits_{n \to \infty} n \cdot \bigg (\frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \bigg )^{\frac 1n}

Ցանկացած $z$ կոմպլեքս թվի համար ճիշտ են հետևյալ հավասարումները՝

e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n

$e$ թիվը կարելի է գրել անվերջ շղթայական կոտորակի տեսքով հետևյալ ձևով՝

$e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,$ , այսինքն՝

e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}}

կամ նրան համարժեքը՝

e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}}

Արագ մեծ թվով նշանների հաշվման համար հարմար է օգտագործել հետևյալ տեսքը՝

\frac{e+1}{e-1}=2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ldots}}}}

$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ ։
Կատալանայի ներկայացումը՝

e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots

Արտադրյալի տեսքով ներկայացում՝

e=\sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}}

Բելլի թվի միջոցով՝

e = \frac{1}{B_n}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}

$e$ թվի իռացիոնալության չափը հավասար է 2-ի (այն է իռացիոնալ թվերի համար ամենափոքր հնարավոր արժեքը)։

Պատմություն

Այս թիվը երբեմն անվանում են նեպերյան ի պատիվ շոտլանդացի գիտնական Նեպերի, ով հայտնի է «Լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակի նկարագրություն» աշխատությունով (1614 թվական)։ Սակայն այս անվանումն այնքան էլ տեղին չէ, քանի որ նրանում $x$ թվի լոգարիթմը հավասար էր $10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!$ ։

Առաջին անգամ հաստատունը ոչ ակնհայտ երևում է Նեպերի վերոնշյալ աշխատության հավելվածի անգլերեն թարգմանությունում, որը հրապարակվել է 1618 թվականին։ Ոչ ակնհայտ, որովհետև այնտեղ պարունակվում էին միայն բնական լոգարիթմների աղյուսակները, որոշված կինեմատիկ նկատառումներից, իսկ ինքը՝ հաստատունը, չի ներկայացել։

Ենթադրվում է, որ աղյուսակի հեղինակը եղել է անգլիացի մաթեմատիկոս Օտրեդը։

Հենց նույն հաստատունը առաջին անգամ հաշվել է շվեյցարացի մաթեմատիկոս Բեռնուլին սահմանային եկամուտի մեծության որոշման խնդրի լուծման ժամանակ։ Նա հայտնաբերել է, որ եթե սկզբնական գումարը 1 դոլար է և հաշվարկվում է 100% տարեկան մեկ անգամ տարվա վերջում, ապա գումարային արդյունքը կկազմի 2 դոլար։ Սակայն եթե այդ նույն տոկոսները հաշվարկենք տարվա մեջ երկու անգամ, ապա 1 դոլարը կբազմապատկվի 1.5-ով կրկնակի անգամ, արդյունքում ստանալով 1.00×1.5²=2.25 դոլար։ Տոկոսների հաշվարկը քառորդ տարին մեկ անգամ կբերի 1.00×1.25⁴=2.44140625 դոլար արդյունքի և այդպես շարունակ։ Բերնուլին ցույց տվեց, որ եթե տոկոսի հաշվարկի հաճախականությունը անվերջ մեծացնենք, ապա տոկոսային եկամուտը բարդ տոկոսի դեպքում ունի այսպիսի սահման՝ $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ և այդ սահմանը հավասար է 2,71828…

1.00×(1+1/12)¹² = 2.613035… դոլար

1.00×(1+1/365)³⁶⁵ = 2.714568… դոլար

Այսպիսով, $e$ հաստատունը նշանակում է առավելագույն մեծ տարեկան եկամուտ 100% տարեկանի դեպքում և տոկոսների կապիտալիզացիայի առավելագույն մաս։

Այս հաստատունի առաջին հայտնի օգտագործումը, որտեղ այն նշանակված էր $b$ տառով, հանդիպել է 1690-1691 թվականներին Լեյբնից Գյույտենսուի նամակներում։

$e$ տառը սկսեց օգտագործել էյլերը 1727 թվականին, իսկ այդ տառով առաջին հրապարակումը եղել է նրա «Մեխանիկա կամ գիտություն շարժման մասին՝ մեկնաբանված անալիտիկորեն» աշխատությունում 1736 թվականին։ Համապատասխանաբար, $e$ –ն սովորաբար անվանում են Էյլերի թիվ։ Չնայած հետագայում որոշ գիտնականներ սկսեցին օգտագործել $c$ տառը, այնուամենայնիվ $e$ տառը օգտագործվում էր ավելի հաճախ և մեր օրերում էլ հանդիսանում է ստանդարտ նշանակում։

Ինչու հենց $e$ տառն ընտրվեց՝ անհայտ է։ Հնարավոր է, որ այն կապված է նրա հետ, որ նրանով սկսվում է $exponential$ («ցուցչային», «էքսպոնենտային») բառը։ Մեկ այլ ենթադրությամբ $a, b, c$ և $d$ տառերը այլ նպատակներով ավելի հաճախ են օգտագործվել, և $e$ -ն առաջին «ազատ» տառն էր հանդիսանում։ Հատկանշական է նաև, որ $e$ -ն հանդիսանում է Էյլերի ( $Euler$ ) ազգանվան առաջին տառը։

Մոտարկումներ

Թիվը կարելի է հիշել որպես 2,7 և կրկնվող 18, 28, 18, 28 թվեր։
Հիշվող կանոն՝ 2 և 7, հետո երկու անգամ Լև Տոլստոյի ծննդյան տարեթիվը (1828), այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյան անկյունները (45, 90 և 45 աստիճաններ)։
$e$ թվի կանոնը կապվում է ԱՄՆ նախագահ Էնդրյու Ջեքսոնի հետ. 2 անգամ ընտրվել է, եղել է ԱՄՆ-ի 7-րդ նախագահը, 1828 թվականը նրա ընտրվելու թվականն է, կրկնվում է երկու անգամ, քանի որ Է.Ջեքսոնը ընտրվել է երկու անգամ։ Այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյուն։
Ստորակետից հետո երեք նշանի ճշտությամբ «սատանայի թվի» օգնությամբ. անհրաժեշտ է 666-ը բաժանել թվի վրա, որը կազմված է 6-4, 6-2, 6-1 թվերից (երեք վեցեր, որոնցից հակառակ կարգով հեռացվում է երկուսի առաջին երեք աստիճանները)՝ ${666 \over 245} \approx 2,718$ ։
թիվը հիշվում է որպես $\frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13}$ (0,001-ի ճշտությամբ)։
$e$ թվի կոպիտ մոտարկումը (0,001-ի ճշտությամբ) հավասար է $\pi \cdot \cos {\pi \over 6}$ ։ Առավել կոպիտ մոտարկմամբ (0,01-ի ճշտությամբ) այն արտահայտվում է $5 \cdot \pi - 13$ արտահայտությամբ։
«Բոյինգի կանոնը». $e \approx 4 \cdot \sin 0,747$ տալիս է 0,0005-ի ճշտություն։
$10^{-7}$ -ի ճշտությամբ՝ $\,\,\,\,e \, \approx \, 3 - \sqrt { \frac {5}{63}} \,\,\,$ ,